Γεννημένος τον Ιανουάριο του 2006 στην Ρεσιστένσια, την πρωτεύουσα της επαρχίας Τσάτσο της βορειοανατολικής Αργεντινής, ο Κλαούντιο Ετσεβέρι ξεκίνησε στην τοπική ερασιτεχνική ομάδα Ντεπορτίβο Λουχάν, αλλά εντυπωσίασε σε μια δοκιμή με τη Ρίβερ Πλέιτ όταν ήταν μόλις 10 ετών.

Από τα 11 του, άρχισε να γίνεται πρωτοσέλιδο ως ταλαντούχος νεαρός που αξίζει να τον προσέχεις. Ένα άρθρο του 2017 στη Clarin σημείωσε πώς ο Ετσεβέρι ξεχώρισε σε ένα τουρνουά που διεξήχθη στη Βενετία ενάντια σε ομάδες όπως η Ατλέτικο Μαδρίτης, ο Άγιαξ, η Γιουβέντους και η Τσέλσι. Κόντρα στους Ιταλούς πέτυχε τέσσερα γκολ και τελείωσε το τουρνουά με εννέα γκολ σε έξι αγώνες.

Από τότε δεν έχει σταματήσει την εκπληκτική του άνοδο. Τον Οκτώβριο του 2022, έκανε το ντεμπούτο του για τις ρεζέρβες της Ρίβερ Πλέιτ σε ηλικία 16 ετών και σκόραρε κόντρα στην Πατρονάτο. Υπέγραψε το πρώτο του επαγγελματικό συμβόλαιο λίγες εβδομάδες αργότερα.

Το όνομά του γίνεται γνωστό και εκτός συνόρων με την παρουσία του στο Παγκόσμιο Κύπελλο Κ17, όπου κόντρα στη Βραζιλία σημείωσε χατ τρικ και ήδη όλοι τον αποκαλούν διάδοχο του Λιονέλ Μέσι.

Ο αρχηγός της ομάδας U-17 της Αργεντινής παίζει ρόλο πλέι μέικερ πίσω από τον επιθετικό και είναι ιδιαιτέρως γνωστός ως «El Diablito» (Ο Μικρός Διάβολος).

Φοράει το νούμερο 10 στην πλάτη του όπως διάσημοι προκάτοχοί του (Λιονέλ Μέσι και Ντιέγκο Μαραντόνα) και οι κινήσεις του στο γήπεδο θυμίζουν Μέσι. Η μπάλα «κολλάει» στο πόδι του, ντριμπλάρει και περνάει την αντίπαλη άμυνα σαν να είναι αστείο. Απλώς όλα φαίνονται πολύ απλά όταν πρόκειται για αυτόν.

Τρεις σύλλογοι μέχρι στιγμής ακούγονται ως ενδιαφερόμενα μέρη για να ξεκινήσει ένας πόλεμος προσφορών και είναι οι: Ρεάλ Μαδρίτης, Μάντσεστερ Σίτι και Παρί Σεν Ζερμέν.